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数与图(3)

在前两篇文章(数与图(1)、数与图(2))中,我们完成了对坐标系的绘制,现在可以在坐标系中绘制函数图像了。

在高中数学课本里,函数被表示为y=f(x),在函数的定义域内,每一个x值,都有唯一的y值与其对应。如果你是一个初中生,上面的描述可能有些抽象,你可以用一次函数来理解函数概念,即,对于一次函数y=ax+b,函数的定义域为实数,因此当x取任意实数时,都有唯一的y与x相对应。函数图像指的是,在x的某个指定的取值范围内,用图形来描述y随x的变化。如果x的取值范围是从x0到x1,通常会将x轴上的线段(x1-x0)等分成n个小线段,每个等分点就是x的取值,这样的等分点共有n+1个,同样有n+1个y与x相对应。每一对(x,y)都对应于平面直角坐标系中的一个点,在坐标系中找到这n+1个点,并把它们用线段连接起来,就完成了函数图像的绘制。

本文将带领读者完成三种函数的曲线绘制,它们分别是一次函数(直线)、二次函数及三次函数,其解析表达式分别表示为:

(1)y=ax+b

(2)y=ax2+bx+c

(3)y=ax3+bx2+cx+d

其中a、b、c、d称作系数,当这些系数变化时,函数图像会随之变化,我们将以三次函数为例,观察a、b的变化对函数图像的影响。

本文内容建立在前面两篇文章的基础上,首先打开原有项目,在设计视图中为项目添加几个组件,然后再开始编写绘图程序。

一、添加组件

首先取消勾选Screen1的“显示状态栏”属性,然后再添加组件。如图1所示,在画布下方添加一个标签,命名为“表达式标签”,其用途不言自明。在水平布局4中,保留原有的“画坐标按钮”,在其右侧添加三个开关组件(2019版新增组件),命名方法如图1所示。(临时设屏幕的允许滚动属性为真,可以看到屏幕底部的内容。)

数与图(3)

图1 为项目添加标签和开关组件

二、编写程序

首先介绍一下绘图程序的逻辑:

(1)应用启动时,会根据预设的数值绘制坐标系;

(2)当用户点击画坐标按钮时,清空画布,按设定的数值绘制坐标系;

(3)当用户开通某个开关时,首先关闭另外两个开关,然后开始绘制相应的函数曲线。

前两项功能已经在此前的文章中实现,本文将实现第三个功能。

1、新增全局变量

如图2所示,增加五个全局变量,其中的abcd是函数的系数,为简单起见,初始值均设为1;最后一个变量“开关列表”值得特书一笔。熟悉App Inventor的用户都知道,在声明全局变量时,不允许将组件对象作为初始值赋给变量(见“向日葵”案例),但在最新的2019版中,这项操作不再被禁止。

数与图(3)

图2 为项目添加新的全局变量

2、新增有返回值过程

(1)求函数值过程

如图3所示,这三个过程非常简单,当给定系数值和x值时,返回函数的值y。

数与图(3)

图3 三个求函数值的过程

(2)求y坐标

如图4所示,当开关组件处于不同状态时,给定x值,返回不同类型函数的y值。

数与图(3)

图4  求y坐标的过程

(3)求函数表达式

如图5所示,当开关处于不同状态时,返回三种不同类型的函数表达式。这里的表达式并没有将系数替换成具体的值,希望读者自行改进这一功能。

数与图(3)

图5 求函数表达式的过程

3、新增无返回值过程——绘制曲线

如图6所示,绘制曲线过程相对复杂一些,不过只要认真阅读过此前的两篇文章,相信很容易理解这个过程里的逻辑。关键逻辑在循环语句中,首先,循环变量的取值对应于函数的x值,循环变量的增量(等分间隔)是十分之一的辅间距。其次,在循环语句内部,针对相邻的两个x值,调用“y坐标”过程获得两个对应的y值。最后,利用画布的画线功能,将相邻的两个点连接起来。重复上述操作,即可完成整个图像的绘制。

数与图(3)

图6 绘制曲线过程

4、开关组件的事件处理程序

这里不得不特别告知读者,2019版的App Inventor增加了类代码(任意组件)的事件块,使得我们不必为三个不同的开关组件单独编写事件处理程序。在图7的代码中,首先判断被按下的开关是否处于“开通”状态,如果是,则利用针对列表的循环语句关闭其余两个开关,并更新函数表达式标签,再调用绘制曲线过程。事件块中的参数“组件”即代表被按下的开关。

数与图(3)

图7 为三个开关组件编写统一的事件处理程序

三、测试

1、在同一个坐标系中绘制不同函数的图像

在系数不变的情况下(abcd均为1),依次按下三个开关组件,得到3个函数的曲线,测试结果如图8所示。

数与图(3)

图8 测试:用相同的系数绘制不同的函数曲线

读者可能会质疑一次函数的图像,y=x+1的斜率应该是1,直线与x轴的夹角应该是45度,为什么图8中不是这样呢?这是因为两个座标轴的伸缩比例不同,如果仔细观察,直线过(-1,0)及(0,1)点。

2、针对不同的系数绘制三次函数曲线

绘图数据如下表所示。

数与图(3)

在第一象限绘制三次函数曲线,除了曲线①,其余曲线的系数a均为-1;当a=-1时,保持c、d的值不变,仅让b从1增加到5。测试结果如图9所示。 

数与图(3)

 图9 在第一象限绘制不同系数的三次函数曲线

顺便说一句,三次函数中,a值对曲线形状的影响最大,其次是b,再次是c、d,这里我们仅调整的b的值,喜欢数学的读者可以尝试改变a值,看看它对曲线形状的影响程度。

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